Δευτέρα, 16 Ιουλίου 2018

Ψευδοεπιστημονικές απόψεις: αστρολογία, δημιουργισμός, κίνημα ενάντια στα εμβόλια, άρνηση της κλιματικής αλλαγής, θεωρίες της κοίλης ή επίπεδης Γης (*)

(*) Πηγή: http://www.avgi.gr/article/10965/9038077/pseudoepisteme
Καθημερινά βομβαρδιζόμαστε από πληροφορίες για τον κόσμο γύρω μας, νέες έρευνες, νέα αποτελέσματα, νέες ανακαλύψεις. Όλα αυτά δεν αφορούν μόνο τα μακρινά αστέρια, τα μυστηριώδη σωματίδια του μικρόκοσμου, γεγονότα σε περασμένες εποχές. Αφορούν την καθημερινότητά μας, τι τρώμε, τι φοράμε, πώς συμπεριφερόμαστε, τι μας επιφυλάσσει το μέλλον. Μάλιστα, η διαχωριστική γραμμή ανάμεσα σε αυτά που αφορούν την καθημερινότητά μας και σε αυτά που δεν την αγγίζουν καθόλου γίνεται συνεχώς και πιο δυσδιάκριτη και θα μπορούσε να πει κανείς, χωρίς υπερβολή, ότι, στον σημερινό παγκοσμιοποιημένο κόσμο της διάχυτης πληροφορίας, οτιδήποτε συμβαίνει οπουδήποτε επιδρά με κάποιον τρόπο στη ζωή μας. Μέσα σε αυτό όμως το πλαίσιο, ένα μεγάλο μέρος της επικαιρότητας καταλαμβάνεται από ψευδείς ειδήσεις, θεωρίες συνωμοσίας και ψευδοεπιστημονικές τοποθετήσεις.
Χωρίς αμφιβολία, οι τρεις αυτές κατηγορίες, που θα μπορούσε κανείς να κατατάξει στον τομέα της παραπληροφόρησης, έχουν διαφορές, ως προς την αφετηρία, το κοινό στο οποίο απευθύνονται και τις επιπτώσεις τους. Έχουν όμως και πολλά κοινά σημεία. Ο ίδιος ο χαρακτηρισμός τους παραπέμπει σε -ή είναι συνδεδεμένος με- κάτι που απέχει από την αλήθεια, οριζόμενη ως αυτό στο οποίο η πλειονότητα (ή τουλάχιστον μια μεγάλη ομάδα ειδικών) πιστεύει. Γιατί όμως κανείς να πιστεύει σε κάτι που είναι ψευδές; Ίσως δεν γνωρίζει ότι ισχύει κάτι τέτοιο, ίσως πρόκειται για μια «αλήθεια» που βρίσκεται πιο κοντά στις ανάγκες του και τις πρότερα διαμορφωμένες πεποιθήσεις του. Εδώ θα ασχοληθούμε κυρίως με το θέμα της ψευδοεπιστήμης, όμως το μεγαλύτερο μέρος της περιγραφής αφορά ομοίως τις θεωρίες συνωμοσίας και τις ψευδείς ειδήσεις.
Τι είναι ψευδοεπιστήμη;
Αν και μοιάζει διαισθητικά ξεκάθαρο σε τι αναφερόμαστε με τον όρο ψευδοεπιστήμη, ωστόσο ένας απολύτως σαφής ορισμός δεν είναι εύκολο να δοθεί. Σύμφωνα με τη Wikipedia, οι ψευδοεπιστήμες περιλαμβάνουν μια σειρά από (επιστημονικοφανείς) ισχυρισμούς, πεποιθήσεις και πρακτικές, οι οποίες θεωρούνται (από κάποιους) πως είναι επιστημονικές και πραγματικές, ωστόσο έρχονται σε αντίθεση με την επιστημονική μέθοδο. Οι ισχυρισμοί αυτοί είναι συχνά αντιφατικοί, υπερβολικοί, μη διαψεύσιμοι και στηρίζονται εν πολλοίς στην προδιάθεση επιβεβαίωσης (confirmation bias), δηλαδή την τάση του ανθρώπου να επιβεβαιώνει τις πρότερες αντιλήψεις του. Από την περιγραφή αυτή προκύπτουν μια σειρά από ερωτήματα, όπως ποια είναι η επιστημονική μέθοδος, τι σημαίνει «μη διαψεύσιμος», ποιοι διακατέχονται από την προδιάθεση της επιβεβαίωσης κ.λπ.
Συνεχίζοντας κανείς την αναζήτηση, μπορεί να βρει μια λίστα από καταγεγραμμένες ψευδοεπιστημονικές απόψεις όπως η αστρολογία, ο δημιουργισμός, το κίνημα ενάντια στα εμβόλια, η άρνηση της κλιματικής αλλαγής, η θεωρία της επίπεδης Γης κ.ά. Φυσικά, οι φορείς αυτών των απόψεων δεν αποδέχονται τον χαρακτηρισμό που τους αποδίδεται. Επιπλέον, εκτός από κινήματα ή πρακτικές, τα οποία μπορούν να οριστούν λιγότερο ή περισσότερο ξεκάθαρα, ως ψευδοεπιστημονικές μπορούν να οριστούν έρευνες που παρουσιάζονται καθημερινά στην επικαιρότητα σχετικά με την υγεία, τη διατροφή, την Ψυχολογία και μπορεί να σχετίζονται με συναφή προϊόντα. Επομένως, γίνεται αντιληπτό ότι η ψευδοεπιστήμη δεν σχετίζεται απλώς με μια εναλλακτική θεώρηση του κόσμου ή μια ποικιλία διαφορετικών απόψεων, αλλά πολύ συχνά έχει οικονομικές και πολιτικές προεκτάσεις. Για παράδειγμα, συμπληρώματα διατροφής και σκευάσματα που αντιμετωπίζουν διαφόρων ειδών καταστάσεις έχουν εκατομμύρια πωλήσεις παγκοσμίως, ενώ φορείς ψευδοεπιστημονικών πεποιθήσεων έχουν τεράστια προβολή στον Τύπο και επιρροή στην κοινή γνώμη. Πολλές φορές μάλιστα, αυτές οι πεποιθήσεις εκφράζονται και από επιστήμονες. Επομένως, το θέμα της διάκρισης μεταξύ επιστήμης/ψευδοεπιστήμης δεν αποτελεί απλώς ακαδημαϊκό, αλλά ευρύτερο κοινωνικό θέμα.
Πώς διαχωρίζεται η επιστήμη από την ψευδοεπιστήμη;
Η συζήτηση στη δημόσια σφαίρα σχετικά με την ψευδοεπιστήμη φαίνεται να μονοπωλείται από τους φορείς αυτών των απόψεων και τους επιστήμονες. Οι τελευταίοι συνήθως επικαλούνται είτε την αυθεντία της επιστήμης τους ή πραγματικά εξετάζουν με τη βοήθεια της επιστημονικής μεθόδου τους ψευδοεπιστημονικούς ισχυρισμούς και τους απορρίπτουν. Αν όμως θέλουμε να είμαστε ακριβείς, τα όρια μεταξύ επιστήμης και ψευδοεπιστήμης δεν αποτελούν αντικείμενο μελέτης της επιστήμης, αλλά της Φιλοσοφίας της Επιστήμης.
Σε αυτό το πλαίσιο πολλοί φιλόσοφοι της επιστήμης έχουν προσπαθήσει να δώσουν απαντήσεις. Μάλιστα, ο ορισμός που παρατέθηκε παραπάνω βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στα συμπεράσματα του φιλοσόφου της Επιστήμης Karl Popper. Ο Popper, μελετώντας τις μεθόδους που χρησιμοποιούν επιστήμονες σε διάφορα πεδία διατύπωσε την άποψη ότι μια πρόταση, για να είναι επιστημονική, θα πρέπει να είναι διαψεύσιμη, θα πρέπει δηλαδή να υπάρχει κάποιο πείραμα ή παρατήρηση τα οποία μπορούν να τη διαψεύσουν. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτέλεσε (και αποτελεί) η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Η Γενική Σχετικότητα κάνει προβλέψεις για φαινόμενα του Σύμπαντος και η εγκυρότητά της επιβεβαιώνεται μέχρι στιγμής, αλλά μπορεί να υπάρξει κάποια παρατήρηση στο μέλλον η οποία να τη διαψεύσει. Είναι λοιπόν μια διαψεύσιμη θεωρία και επομένως έγκυρη επιστημονικά. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει ωστόσο με τις θεωρίες συνωμοσίας και την ψευδοεπιστήμη, καθώς οι φορείς αυτών των απόψεων προσαρμόζουν τα γεγονότα ώστε να επιβεβαιώνονται εκ των υστέρων, ενώ δεν υπάρχει (ή δεν προτείνεται) τρόπος να ελεγχθούν με νέες παρατηρήσεις. Σημαντική διάκριση για τον Popper μεταξύ επιστήμης και ψευδοεπιστήμης είναι ότι η πρώτη προσπαθεί να απορρίψει θεωρίες, ενώ η δεύτερη να επιβεβαιώσει. Αν μια θεωρία δεν μπορεί να ελεγχθεί ως προς την εγκυρότητά της, τότε δεν είναι επιστημονική. Θα έλεγε κανείς ότι οι απόψεις του Popper έχουν κυριαρχήσει σε μεγάλο βαθμό μεταξύ των επιστημόνων ως προς το τι συνιστά ψευδοεπιστήμη.
Αξίζει βέβαια να αναφέρουμε ότι σε αυτό το θέμα έχουν υπάρξει και άλλες απόψεις. Για παράδειγμα, για τον Feyerabend δεν υπάρχει κάποιος ιδιαίτερος λόγος να θεωρεί κανείς την επιστήμη πιο έγκυρη από την αστρολογία ή τη χειρομαντεία, καθώς η καθεμιά έχει τα δικά της εργαλεία και μεθόδους. Μια ενδιαφέρουσα όμως τοποθέτηση που αντιτίθεται των απόψεων του Feyerabend έχει κάνει ο John Wilkins, ιστορικός και φιλόσοφος της Επιστήμης του Πανεπιστημίου της Μελβούρνης. Διάφορα επιστημονικά πεδία και θεωρίες έχουν «χτίσει» γύρω τους έναν όγκο γνώσης και έχουν αναπτύξει μεθοδολογίες τόσο στις Φυσικές όσο και στις Ανθρωπιστικές Επιστήμες. Μάλιστα, όλα αυτά τα πεδία έχουν δείξει τη δυναμική παραγωγής νέας γνώσης από πολύ νωρίς στην ιστορία τους. Αντιθέτως, η αστρολογία υπάρχει εδώ και χιλιάδες χρόνια χωρίς να έχει συμβεί κάτι τέτοιο κι αν αποδεχτούμε την εγκυρότητά της, χρειάζεται να απορρίψουμε τις γνώσεις που έχουμε συσσωρεύσει εδώ και αιώνες στη Φυσική. Ένα τέτοιο επιχείρημα μπορεί φυσικά να επικαλεστεί κανείς και για τη θεωρία της επίπεδης Γης και τον δημιουργισμό.
Γιατί οι άνθρωποι πιστεύουν «ακόμη» σε ψευδοεπιστήμες;
Το ερώτημα αυτό είναι από τα πιο ενδιαφέροντα, καθώς μας δίνει τη δυνατότητα να αναδείξουμε πτυχές τόσο της ανθρώπινης φύσης όσο και της ίδιας της επιστήμης. Σε ό,τι αφορά την τελευταία, η έκπληξη που συχνά συνοδεύει αυτό το ερώτημα («ακόμη») υποδηλώνει τις πεποιθήσεις μας για την έννοια της προόδου στην επιστήμη. Υπονοείται δηλαδή ότι με την επιστημονική και τεχνολογική πρόοδο που έχουμε επιτύχει τα τελευταία χρόνια θα έπρεπε να έχουν ήδη εξαλειφθεί όχι μόνο οι ψευδοεπιστήμες αλλά και κάθε άλλου είδους πεποίθηση εκτός επιστήμης. Φυσικά, μια τέτοια πεποίθηση είναι όχι μόνο αναληθής αλλά και επικίνδυνη. Είναι ίσως εκτός των σκοπών του παρόντος κειμένου να αναλυθούν οι λόγοι για τους οποίους ισχύει κάτι τέτοιο, ωστόσο το κατά πόσο η επιστήμη προοδεύει και κατά πόσο είναι από μόνη της αρκετή για να καλύψει τις ανθρώπινες ανάγκες είναι άλλο ένα θέμα υπό μελέτη.
Τόσο οι ψευδοεπιστήμες όσο και τα σενάρια συνωμοσίας μας προσφέρουν μια εύκολη απάντηση σε ερωτήματα που μας απασχολούν. Μας απαλλάσσουν από την ευθύνη να αναζητήσουμε απαντήσεις σε ερωτήματα που απαιτούν πολλή μελέτη και μόχθο. Πολλοί από εμάς μπορεί να μην έχουμε τη δυνατότητα είτε να αναζητήσουμε τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε είτε να σκεφτούμε εντατικά και δομημένα ώστε να καταλήξουμε σε κάποιο συμπέρασμα. Ταυτόχρονα όμως, μας φαίνεται προτιμότερο να υιοθετούμε κάποιες απόψεις για τον κόσμο από το να μην έχουμε καμία.
 Από την άλλη, μια σειρά από έρευνες δείχνουν ότι το μορφωτικό επίπεδο και η πρόσβαση σε απεριόριστο όγκο πληροφορίας (μέσω του Διαδικτύου) δεν είναι ικανά να εξαλείψουν το φαινόμενο των ψευδοεπιστημών. Η προδιάθεση επιβεβαίωσης υποδηλώνει την τάση που έχουμε να αξιολογούμε ως σημαντικότερα τα γεγονότα που επιβεβαιώνουν τις απόψεις που έχουμε ήδη διαμορφώσει. Αυτή η τάση δεν είναι χαρακτηριστικό μόνο των ανθρώπων με χαμηλό μορφωτικό επίπεδο. Μάλιστα, ένας άνθρωπος με υψηλότερο μορφωτικό επίπεδο είναι περισσότερο ικανός να στηρίξει τις ήδη διαμορφωμένες, αλλά πιθανόν λάθος, απόψεις του ακριβώς λόγω της καλύτερης μόρφωσής του. Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται μάλιστα πολλοί επιστήμονες που προβάλλουν συστηματικά ψευδοεπιστημονικές απόψεις, είτε επικαλούμενοι το κύρος τους ή/και χρησιμοποιώντας επιστημονικοφανή επιχειρήματα και αναφορές σε αμφίβολες πηγές.
Αν όλοι οι άνθρωποι είμαστε δέσμιοι των περιορισμών που αναφέρθηκαν, πώς είναι δυνατόν ένας επιστήμονας να είναι αντικειμενικός, χωρίς προκαταλήψεις; Είναι σαφές ότι δεν γεννιούνται άνθρωποι με ανοσία στις ψευδοεπιστημονικές απόψεις. Ο μόνος τρόπος, σύμφωνα με τον Popper, είναι να θέτουμε τις αντιλήψεις μας υπό το πρίσμα της διαψευσιοκρατίας. Δεδομένου ότι δεν είναι εφικτό να παρατηρούμε τον κόσμο χωρίς πρότερες αντιλήψεις, οφείλουμε να αναζητούμε τα στοιχεία που μπορούν να διαψεύσουν τις απόψεις μας και όχι να αρκούμαστε σε αυτά που απλώς τις επιβεβαιώνουν.
Την ίδια δουλειά κάνει και ένας επιστήμονας. Όπως πολύ εύστοχα το θέτει η φιλόσοφος Mary Midgley, ο επιστήμονας δεν είναι ένας άνθρωπος ουδέτερος, χωρίς πεποιθήσεις. Αντιθέτως, εκφράζει και αποδέχεται ανοιχτά τις προκαταλήψεις και πεποιθήσεις του και τις υποβάλλει και αυτές στη βάσανο της επιστημονικής μεθόδου. Αυτό που έχει σημασία, όπως πίστευε και ο Popper, είναι, ακολουθώντας την επιστημονική μέθοδο, να είμαστε πρόθυμοι να απορρίψουμε τις θεωρίες (απόψεις) μας

Τρίτη, 10 Ιουλίου 2018

ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ ΟΙ ΜΕΛΙΣΣΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; (*)

(*) Α.Αντωνίου, Ερευνητή Τομέα Αστροφυσικής Πανεπιστημίου Αθηνών, Επιστημονικού Υπεύθυνου Εστίας Γνώσης Χαλκίδας
Ίσως το ερώτημα να ηχεί παράξενα. Θα μπορούσε να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Είναι δυνατόν οι μέλισσες να γνωρίζουν μαθηματικά;
Εκείνοι που ασχολούνται ερασιτεχνικά ή επαγγελματικά με το θαυμάσιο αυτό χόμπι της μελισσοκομίας έχουν να παρατηρήσουν θαυμαστά πράγματα και καταστάσεις που συμβαίνουν στην σχεδόν άριστα οργανωμένη κοινωνία των μελισσών. Στα επόμενα θα δούμε ότι οι κοινωνικές δομές με τις οποίες είναι συγκροτημένη μια κυψέλη συνοδεύονται και από ένα μαθηματικό κατόρθωμα.
Τα ερωτήματα
Οι περισσότεροι από εμάς γνωρίζουν ότι τα κελιά των κυψελών είναι κανονικά εξάγωνα. Τρία είναι τα βασικά ερωτήματα που θα μπορούσαν να μας απασχολήσουν από μαθηματική άποψη.
α) Γιατί η μέλισσα κατασκευάζει τι κελί της σε σχήμα κανονικού εξαγώνου (για την ακρίβεια κανονικού εξαγωνικού πρίσματος); Θα μπορούσε ενδεχομένως να χρησιμοποιήσει και άλλα σχήματα; (Υπενθυμίζεται ότι ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές μεταξύ τους ίσε και όλες τις γωνίες επίσης μεταξύ τους ίσες,όπως για παράδειγμα το τετράγωνο)
β) Εξυπηρετεί το κανονικό εξαγωνικό πρίσμα την οικονομία του χώρου;
γ) Είναι η κατασκευή αυτή και η πιο οικονομική σε πρώτη ύλη (κερί);
Να πούμε κατ’ αρχάς ότι η σταθερότητα της κατασκευής επιβάλλει τη χρήση συμμετρικού σχήματος. Από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι τα σχήματα που έχουν συμμετρία ως προς κέντρο μπορούν να σχηματίσουν πολύ πιο σταθερές κατασκευές από ένα αντίστοιχο μη συμμετρικό. Έτσι, η χρήση πρισμάτων με βάσεις κανονικά πολύγωνα ή έστω κυλίνδρου φαίνεται να αποτελεί τη μόνη λύση. Γιατί όμως κανονικό εξάγωνο και όχι τετράγωνο ή κανονικό οκτάγωνο ή έστω κύκλος; Στο σημείο αυτό να αναφέρουμε ότι υπάρχει ένα είδος μελισσών στη Νότια Αμερική που κατασκευάζει κυκλικά κελιά. Είναι άραγε οι νοτιαμερικανές μέλισσες πιο «έξυπνες» από τις δικές μας; Η άμεση απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι η εξής: Αν το πρόβλημα ήταν δύο διαστάσεων, δηλαδή αν το κελί δεν είχε βάθος τότε πράγματι οι νοτιαμερικανές μέλισσες θα ήταν εξυπνότερες από τις ελληνίδες ή έστω τις ευρωπαίες. Διότι, όπως είναι γνωστό, από όλα τα συμμετρικά σχήματα με σταθερή περίμετρο το μεγαλύτερο εμβαδόν κατέχει ο κύκλος. Τα παραπάνω ερωτήματα όμως δείχνουν ότι το πρόβλημα δεν είναι μόνο θέμα εμβαδού αλλά και χώρου και μάζας (ύλης).
No automatic alt text available.
Οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα
Ερώτημα (α): Γιατί κανονικό εξάγωνο; Η οικονομία του χώρου απαιτεί την κάλυψη του επιπέδου χωρίς κενά ανάμεσα στα σχήματα. Τα κανονικά πολύγωνα δηλαδή που φιλοδοξούν να καλύψουν το επίπεδο (τελάρο), γύρω από κάθε κορυφή τους πρέπει να μην αφήνουν κενά. Με άλλα λόγια το άθροισμα των γωνιών γύρω από μια κορυφή πρέπει να είναι 360ο. Με απλούς υπολογισμούς μπορεί να δει κανείς ότι τα μόνα κανονικά πολύγωνα που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Γιατί επέλεξαν όμως το κανονικό εξάγωνο και όχι για παράδειγμα το τετράγωνο; Διότι μεταξύ ενός τετραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου με την ίδια περίμετρο το εξάγωνο καταλαμβάνει μεγαλύτερο εμβαδόν, με άλλα λόγια αποθήκευση περισσότερου μελιού. Θα αναρωτηθεί κανείς και γιατί να μη διαλέξουν τον κύκλο. Είπαμε όμως παραπάνω ότι το πρόβλημα δεν είναι δύο διαστάσεων.
Ερώτημα (β): Οικονομία του χώρου. Οι μικρές μέλισσες όσο και οι μεγάλες, οι οποίες πρέπει να βρουν χώρο στη φωλιά τους, μοιάζουν κατά προσέγγιση με ένα μικρό κύλινδρο. Το γεγονός αυτό αλλά και η σταθερότητα της κατασκευής παραπέμπουν πιθανόν σε μια κυλινδρική κατασκευή των κελιών, οπότε και οι νοτιαμερικανές μέλισσες θα ήταν και εξυπνότερες. Αποδεικνύεται όμως ότι κυλινδρική κατασκευή των κελιών θα ήταν υπέρβαρη με αποτέλεσμα το κεντρικό κελί από το βάρος των υπερκείμενων να τείνει να «παραμορφωθεί» σε εξάγωνο. Εκτός αυτού αποδεικνύεται ότι η κάλυψη ενός συγκεκριμένου τελάρου με κανονικά εξαγωνικά πρίσματα έχει πολύ καλύτερη οικονομία χώρου από την κάλυψη του ίδιο τελάρου με κυλίνδρους.
Ερώτημα (γ): Οικονομία σε πρώτη ύλη. Θεωρούμε την εγκάρσια διατομή ενός κελιού που μπορεί να είναι, όπως είπαμε αρχικά, κύκλος ή κανονικό εξάγωνο ή τετράγωνο ή ισόπλευρο τρίγωνο. Επειδή υπάρχει αναλογία μεταξύ των περιμέτρων των σχημάτων αυτών και της αντίστοιχης κυλινδρικής ή πρισματικής επιφάνειας αρκεί να μπορούμε να συγκρίνουμε το υλικό που θα χρειαστεί για την κατασκευή των κελιών αυτών σαν να μην είχαν βάθος, δηλαδή το υλικό που απαιτείται για την κατασκευή της περιμέτρου των παραπάνω κανονικών πολυγώνων και του κύκλου. Με υπολογισμούς μπορεί να δει κανείς ότι για δεδομένο αριθμό κελιών οι κυψέλες εξαγωνικού πρίσματος μας προσφέρουν μεγαλύτερη οικονομία σε πρώτη ύλη (κερί) αλλά και σε εργασία.
Συμπεράσμα
Να λοιπόν που το εξαγωνικό πρίσμα των κελιών των μελισσών μεγιστοποιεί τον περικλειόμενο χώρο, προσφέρει δηλαδή περισσότερο μέλι, κα ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί την ποσότητα πρώτης ύλης (κεριού) που απαιτείται για την κατασκευή.
Στην ουσία οι μέλισσες έλυσαν με αξιοθαύμαστο τρόπο ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα. Τι σχήμα πρέπει να πάρει δηλαδή μια δεδομένη ποσότητα ύλης ώστε:
1) Να έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα
2) Να διαθέτει τη μεγαλύτερη δυνατή σταθερότητα
3) Να καταλαμβάνει το μικρότερο δυνατό χώρο
4) Να προϋποθέτει τη λιγότερη εργασία (κόπο) για την κατασκευή του.
Μετά από όλα αυτά τι λέτε. «Γνωρίζουν» οι μέλισσες μαθηματικά ή όλα τα παραπάνω είναι αποτέλεσμα «τύχης».
Και ένα άλλο αξιοθαύμαστο γεγονός
Όπως είναι γνωστό, οι μέλισσες εάν ανακαλύψουν μια πλούσια πηγή από νέκταρ μακριά από τη φωλιά τους, τότε στήνουν ένα ρυθμικό χορό σε σχήμα του μαθηματικού απείρου (∞) για να ειδοποιήσουν και τις υπόλοιπες. Στο παραπάνω σχήμα δίνουν τέτοια κλίση ώστε η γωνία του μεγάλου άξονα του σχήματος αυτού με την κατακόρυφο να είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν οι ακτίνες πρόσπτωσης του Ήλιου με την ευθεία που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση από την κυψέλη μέχρι την τροφή που ανακάλυψαν. Μη μου πείτε ότι ο αξιοθαύμαστος αυτός τρόπος επικοινωνίας των μελισσών δε θα μπορούσε να είναι αντικείμενο διδακτορικής διατριβής από μαθηματική άποψη και όχι μόνο;